#3 Delta Sigma Modulator

Modulator의 출력과 입력, ADC의 양자화 잡음은 다음 수식과 같은 관계를 가집니다.
$$
Y(z)
= \underbrace{\frac{A(z)}{1 + A(z)}}_{\mathrm{STF}(z)} \cdot X(z)
+ \underbrace{\frac{1}{1 + A(z)}}_{\mathrm{NTF}(z)} \cdot E(z)
$$
여기서 STF는 Signal Transfer Function, NTF는 Noise Transfer Function을 의미합니다.

식에서 A(z)를 적분기라고 가정해봅시다. 그 경우 위 식은 다음과 같이 변형됩니다.

$$Y(z) = z^{-1} X(z) + \bigl(1 - z^{-1}\bigr) E(z)$$

이는 두가지 의미를 내포하고 있습니다.

1. 입력 신호는 단순히 지연된 형태로 모듈레이터를 통과합니다. 즉 신호는 큰 변화가 없이 전달됩니다.
2. 반면 양자화 잡음은 미분됩니다.

이 말은 즉 양자화 잡음이 고주파로 밀어 올라가는 형태가 됩니다.
이것이 바로 Noise Shaping 입니다.

상단의 그림은 Noise Shaping Modulator의 Block Digram입니다.
해당 형태는 더하는 블록이 입력과 피드백 값을 계속 더하고 있습니다.
integrator는 이 Δ신호를 계속 누적(Sigma) 하여 DAC을 통해 다시 피드백 루프로 보냅니다.

그러나 피드백 신호가 어떤 때는 입력보다 크거나 어떤 때는 입력보다 작습니다.
그럴때 출력 신호에는 입력 신호 + 오차(quantization noise)가 포함됩니다.

Noise-shaping Modulator는 이 오차(잡음)를 되도록 입력 신호에 직교하도록(orthogonal) 처리하여, SNR을 최대화합니다.
이 변조기를 Delta-Sigma 또는 Sigma-Delta Modulator라고 부릅니다.