#1 Set Theory (수정중)

Set theory (집합론)

 정의: Set은 elements의 collection이다.

 

subset (부분집합) - $$  A \supset B $$   : B is a subset of A

empty set (공집합) - $$ \varnothing $$

 

example) 앞면(head, h)과 뒷면(tail, t)이 있는 동전을 두번 던진다.

u = {hh, ht, th, tt} ~ "Universal set" (전체집합)

A = { 첫번째 던짐에 앞면이 나온 경우} = {hh, ht}

B = { 앞면이 무조건 한번만 나온 경우} = {ht, th}

 

: $$ A \subset u,  B \subset u  $$

 

 

Set operations

$$  A \supset B $$

: A is a subset of B , $$  A \supset A $$

For any A

: $$ \varnothing \subset A,  \varnothing  \subset \varnothing $$

If $$  A \subset B $$, $$  B \subset C $$ : $$  A \subset C $$

A = B iff(if and only if / 필요 충분 조건 (necessary and sufficient condition)) : $$  A \subset B $$, $$  B \supset A $$

 

union(합집합) : $$ A \cup B, A + B $$

- commutative (교환법칙), associative (결합법칙) 성립

 

intersection(교집합) : $$ A \cap B, A + B $$

- commutative (교환법칙), assoviative (결합법칙) 성립

 

 

Mutually exclusive sets

 : 어떤 사건이 발생하면 다른 이벤트는 발생하지 않음

 

집합 A와 B가 Mutually exclusive라 불리기 위한 필요충분조건

$$  A \cap B =  \varnothing  $$

집합 A1, A2, ... , An 개가 Mutually exclusive라 불리기 위한 필요충분조건

$$ 1.  A_{i} * B_{j}  = \varnothing $$

$$ 2.  \forall  i \neq j $$

 

 

Partition

 : 전체를 서로가 겹치지 않도록 나누는 것

집합 U의 파티션 S는 A1, A2, ... , An 개의 집합으로 되어있을 때 다음을 만족한다.

1. $$ A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n} = u $$

2. $$  A_{i}B_{j}  =  \varnothing $$, $$  \forall  i \neq j $$

 

 

Complements of A : A^{c}

$$  A \cup A^{c} = u, AA^{c} = \varnothing  $$, A and $$ A^{c} $$ is partition of u

$$ (A^{c})^{c} = A, u^{c} = \varnothing, \varnothing^{c} = u $$

 

 

Demorgan's law

$$  (A\cup B)^{c} = A^{c}\cap B^{c} $$

$$ (A\cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c} $$